数值执行配属性可用的公式--非原创

mentuosi

感谢前辈写的文档，我来分享一手

成长曲线设计方法研究

问题的提出

数值设计中经常遇到成长曲线的设计，比如主角MaxHP随等级的成长曲线。这类设计往往首先确定两个端点，如1级时1000HP，40级时3000HP，然后再在这两点之间拉出一条曲线来。根据设计需要，这条曲线可能凸也可能凹，可能平缓也可能陡峭，这就需要在设计时留下可方便调节的参数；进一步地，要求不同的成长曲线之间，能够对成长特征进行量化的比较。

根据这两点要求，整理出了常用的三种方法：双曲线、抛物线、指数线。为了增强设计的可阅读性和可操作性，在双曲线部分重点介绍了设计思路和过程，也建议其他同学在进行类似设计时，能够将一些参数和中间变量的意义解释清楚，方便后来的同学阅读和操作。

双曲线简化

        首先，将问题“设计一条从(Xmin,Ymin)到(Xmax,Ymax)的成长曲线”，简化为“设计一条从(-1,-1)到(1,1)的成长曲线”，这样可以抛开具体数值的影响，而专注于曲线自身的特征。

函数

        考虑双曲函数：，-1<p<1，-1<=x<=1。

1. 曲线经过(-1,-1)和(1,1)两点；

2. 当p=0时，曲线为线性函数；当-1<p<0时，曲线为下凸函数；当0<p<1时，曲线为上凸函数；

3. 曲线经过(0,p)点，换句话说，曲线的纵截距就是参数p的大小；因此：

4. 越大，曲线越陡峭；越小，曲线越平缓；

5. p的大小可以用来比较两条双曲线的成长特征；

映射

        接下来，只要先把实际问题中的X映射到该函数中，得到x，再根据函数计算得到y，最后映射回实际问题中，就可以得到对应的Y了，即：

        将X从(Xmin,Xmax)映射到(-1,1)中,结果为；令，，可以得到：；

        根据函数和x值，计算出对应的y值；

        将y从 (-1,1)映射到(Ymin,Ymax)中，结果为，整理后有：Y=y*Ydif+Ysum；

        具体操作过程见EXCEL文档。

抛物线简化

        与双曲线处理方法相同。

函数

        考虑二次函数：，-0.5<=p<=0.5，-1<=x<=1。

1. 曲线经过(-1,-1)和(1,1)两点；

2. 当p=0时，曲线为线性函数；当-0.5<=p<0时，曲线为下凸函数；当0<p<=0.5时，曲线为上凸函数；

3. 曲线经过(0,p)点，换句话说，曲线的纵截距就是参数p的大小；因此：

4. 越大，曲线越陡峭；越小，曲线越平缓；

5. p的大小可以用来比较两条双曲线的成长特征；

映射

        与双曲线处理方法相同。

        具体操作过程见EXCEL文档。

指数线简化

        与双曲线处理方法相同。

函数

        考虑指数函数：，-1<p<0或0<p<1，-1<=x<=1。

1. 曲线经过(-1,-1)和(1,1)两点；

2. 当-1<p<0时，曲线为下凸函数；当0<p<1时，曲线为上凸函数；p不能取0；

3. 曲线经过(0,p)点，换句话说，曲线的纵截距就是参数p的大小；因此：

4. 越大，曲线越陡峭；越小，曲线越平缓；

5. p的大小可以用来比较两条双曲线的成长特征；

映射

        与双曲线处理方法相同。

        具体操作过程见EXCEL文档。

比较

三条曲线都经过(0,p)点，越大，曲线越陡峭；越小，曲线越平缓；p的大小可以用来比较两条相同曲线的成长特征。

        p=0时，双曲线和抛物线都退化为直线，指数线的p值不能取0；

        0<<=0.5时，三条曲线的形状相差不大；

        0.5<<1时，抛物线的单调性会发生变化，也就是对称轴会落到两个端点之间；

        接近于1时，双曲线和指数线都趋近无限陡峭，双曲线变化地更快；这是抛物线做不到的，换句话说，由于单调性的限制，抛物线的最大陡峭程度在=0.5时取到，因此可能无法达到实际需要的陡峭程度。

        用表格简单比较三种曲线：

	双曲线	抛物线	指数线
表达式
p取值	(-1,1)	[-0.5,0.5]	(-1,0)或(0,1)
p=0时	退化为直线	退化为直线	不能为0，无法退化为直线
趋于1时	变化较快		变化较慢
陡峭程度	无上限	=0.5时达到上限	无上限

        综合来看，抛物线的设计存在硬伤，是三者之中最差的方法；双曲线表达式简单，是三者之中最优的方法；而在设计某些比较陡峭的成长曲线时，可以考虑采用指数线，可调控的区间要相对大一些。

总结

        上面分布讨论了双曲线、抛物线、指数线的设计方法，在熟练掌握之后，也可以使用其它中间变量作为参数；但是使用p作为统一调节参数的好处就在于，它可以作为曲线形状的量化指标；对于同样类型的曲线，可以根据需要很容易地设计不同的成长速度；如果采用其他参数，往往会受实际数值影响，而不能准确体现曲线的成长特征。

        略去中间过程，双曲线的公式为：，直接引用可以使设计过程变得简洁。

该贴已经同步到 mentuosi的微博